کار مریم میرزاخانی از جنس کار نیوتن بود

  عصر ایران؛ هومان دوراندیش - «دختری از تبار ما»، کتابی است دربارۀ مریم میرزاخانی، به قلم کامران شهبازی. ناشر کتاب هم انتشارات نقد فرهنگ است.

  این کتاب از این حیث خواندنی و مهم است که به ذكر افتخارات علمی و شرح زندگي مريم ميرزاخانی بسنده نكرده و كوشيده به زبانی حتی‌‌المقدور ساده، از كارهای مهم آن "نادرۀ نابغه" در عالم رياضيات پرده‌برداری كند.

  نيمۀ اول كتاب البته زندگی‌نامه مريم ميرزاخانی است و تقريبا چيزی بيشتر از نوشته‌های مطبوعات و خبرگزاری‌ها در ايام پس از درگذشت ملكه رياضی جهان ندارد. اهميت كتاب در نيمۀ دوم آن است با عنوان «مروری بر دستاوردهای علمی مريم ميرزاخانی».

   كامران شهبازی، تحقيقات ميرزاخانی را به سه دوره تقسيم كرده است: «‌اول: دورانی كه در ايران زندگی می‌كرد، يعنی پژوهش‌هايی كه در دبيرستان و دانشگاه صنعتی شريف انجام داده است... دوم: دورۀ تحصيل او در هاروارد... يعنی پژوهش‌هايی كه ضمن تحصيل در مقطع دكترا انجام داده است... سوم: دوران فارغ‌التحصيلی... يعنی پژوهش‌های او از سال 2004 به بعد، يعنی زمانی كه در مقام استاد رياضيات به تدريس در دانشگاه‌های امريكايی پرينستون و استنفورد مشغول به كار بوده است.»  

   در دورۀ نخست، ميرزاخانی سه مقالۀ معتبر در نشريات رياضی جهان منتشر كرده و با كمك دوستش، رويا بهشتی زواره، كتابی به نام «نظريۀ اعداد» براي آمادگي دانش‌آموزان در المپياد رياضی نوشته كه بارها تجديد چاپ شده است. اما اهميت جهانی ميرزاخانی برآمده از پژوهش‌های او در دوره‌هاي دوم و سوم است.

  ماجرا از مرحوم اقليدس آغاز می‌شود كه در قرن سوم پيش از ميلاد، اصول بنيادين هندسه را تشريح كرد. وی در كتاب سيزده جلدی‌اش، پنج اصل را به عنوان اصول موضوعه هندسه تعيين كرد. مثلا اين اصول: 1- ‌از هر نقطه به هر نقطۀ ديگر مي‌توان خط راستی رسم كرد. 2- هر پاره‌خط راست را می‌توان به طور نامحدود امتداد داد. 3- همۀ زوايای قائمه با يكديگر برابرند.

 يكی از اصول هندسه اقليدس، اصل توازی است كه می‌گويد: «از هر نقطه‌ای كه خارج از يك خط مفروض باشد، يك و فقط يك خط راست می‌توان به موازات آن خط مفروض رسم كرد. »

  در قرن نوزدهم رياضی‌دانان دريافتند كه می‌توانند از اين اصل عبور كنند و هندسه‌های ديگری به وجود آورند كه به «هندسه‌های غيراقليدسی» مشهور شدند. ابتدا لوباچفسكی اين اصل را به جای اصل توازی پيشنهاد كرد: «از هر نقطه‌ای كه خارج از يك خط مفروض باشد، می‌توان حداقل دو خط موازی و در همان صفحه خط مفروض رسم كرد.»

  اين اصل سنگ بنای هندسه هذلولَوی شد. سپس جورج ريمان با اين اصل هندسه بيضوی را پايه‌گذاری كرد: «از هر نقطه خارج از يك خط، نمی‌توان هيچ خطی موازی با خط اول رسم كرد. »

  اندازۀ انحنا در هندسۀ اقليدسی صفر، در هندسۀ لوباچفسكی منفی و در هندسۀ ريمانی مثبت است. مجموع زوايای داخلی مثلث نيز فقط در هندسۀ اقليدسی 180 درجه است؛ در هندسۀ لوباچفسكی كمتر از 180 درجه و در هندسۀ ريمانی بيشتر از 180 درجه است.

 بنابراين هندسه‌های هذلولَوی و بيضوي (ريمانی) مربوط به سطوحی هستند كه داراي انحنا (مثبت يا منفی) باشند. در اين هندسه‌ها، به علت همين انحنای اساسی، چيزي به نام «خط راست» وجود ندارد. به جای خط راست، خط ژئودزيك وجود دارد. يعنی در سطوح منحنی، كوتاه‌ترين فاصله ميان دو نقطه را «خم ژئودزيك» می‌نامند.

   خم‌ها يا خطوط ژئودزيك به دو نوع ساده (كه با خود تداخلی ندارند) و بسته (كه خودشان را قطع می‌كنند) تقسيم می‌شوند. يكی از تخصص‌های ميرزاخانی، هندسه‌های غيراقليدسی بود.

  كامران شهبازی در کتابش نوشته است: «از زمانی كه سطوح منحنی و كاربرد آن‌ها در فيزيك كشف شده است، اين سطوح مطالعات هندسه را به تصرف خود درآورده‌اند.»

  در دوران تحصيل ميرزاخانی در هاروارد، چندين مسالۀ مهم مرتبط با اين سطوح انحنادار هنوز حل نشده بود. وي در رسالۀ دكتری‌اش سه مسالۀ مهم هندسۀ غيراقليدسی را حل كرد. ابتدا فرمولی ارائه كرد برای تعيين تعداد خم‌هاي ژئودزيك ساده و بسته در سطوح ريمانی‌یی كه عدد گونای آن‌ها بالاست.

  عدد گونا تعداد حفره‌های يك سطح ريمانی را نشان می‌دهد. مثلا عدد گونای يك كره صفر، عدد گونای يك چنبره 1 و عدد گونای دو چنبره چسبيده به هم (چيزی شبيه علامت بی‌نهايت در رياضی) 2 است.

سطوح ريمانی با عدد گوناي بالاي 1 را «سطوح هذلولَوي» می‌نامند. محاسبات مربوط به تعيين تعداد خم‌هاي ژئودزيك ساده و بسته در سطوح هذلولوی دارای عدد گوناي بالا، به علت انحنا داشتن اين سطوح، چنان دشوار است كه رياضی‌دانان در يكصد سال گذشته، نتوانسته بودند دریابند که يك سطح هذلولوی دارای چند خم ژئودزيك بسته است.

 ميرزاخانی در رسالۀ دكتریخود به اين مساله پاسخ داد. علاوه بر اين به دو «مساله دشوار ديگر كه امان رياضی‌دانان را بريده بود، پاسخ داد. » يكي از آن دو مسأله، مربوط می‌شد به حجم تمام سطوح هذلولوی روي يك سطح معين يا حجم فضاهای پيمانه‌ای. شهبازی توضيح می‌دهد كه مبحث فضاهای پيمانه‌ای يكي از دشوارترين مباحث رياضيات جديد است.

 مسالۀ ديگری كه ميرزاخانی در رساله‌اش آن را حل كرد، اثبات يكي از حدس‌های ادوارد ويتن – فيزيكدان مشهور – بود. تشريح جزييات اين حدس و اثبات ميرزاخاني، براي نگارنده به كلي ناممكن است ولي شهبازي مي‌نويسد: «حدس ويتن آنچنان پيچيده و بااهميت است كه در سال 1998 براي ماكسيم كانتسيويچ، به خاطر اثبات آن، نشان فيلدز را به همراه آورده بود. البته برهان ميرزاخاني آنچنان بديع بود كه خود كانتسيويچ... اعتراف مي‌كند كه اثبات ميرزاخاني از اثبات او بسيار زيباتر است. »

ميرزاخاني ضمن اثبات حدس ويتن، «توانسته بود آن را به دو مبحث مجزاي ديگر تعداد خم‌هاي ژئودزيك ساده در سطوح هذلولوي و تعيين حجم فضاهاي پيمانه‌اي)، پيوند داده و از اين رهگذر نور تازه‌اي بر تمامي آن حوزه‌ها» بيفشاند.

شگفتي رياضيدانان جهان از رسالۀ دكتري ميرزاخاني، ناشي از اين بود كه «حل جداگانۀ هر كدام از آن مسائل كاري است بس دشوار و بي‌اندازه مهم، اما ربط دادن اين سه با يكديگر، امري است خارق‌العاده‌تر و مهم‌تر.»

به همين دليل، ميرزاخاني در سال 2009 جايزۀ بلومنتال را بابت پايان‌نامۀ دكتری‌ا‌ش دريافت كرد. اين جايزه هر چهار سال يكبار به كسي اهدا مي‌شود كه ارزشمندترين پايان‌نامه را در حوزۀ رياضيات محض نوشته باشد.

 ميرزاخانی در دوران تدريس در دانشگاه‌های پرينستون و استنفورد، مقالات مهم ديگری نوشت كه اگرچه، با احتساب مقالات قبلی وی، تعدادشان چندان زياد نبود (هفده مقاله در هفده سال: از 2004 تا 2017)، اما كيفيت مقالاتش، به گونه‌ای بود كه تقريبا همه عناوين و جوايز مهم جهان رياضی را درو كرد و او را با امي نوتر، رياضيدان نابغۀ آلماني مقايسه می‌كنند كه از نظر آلبرت اينشتين بزرگ‌ترين محقق زن در تاريخ رياضيات بود.

 این نکته هم قابل توجه است که مریم میرزاخانی در اوج دوران نبوغ و فعالیت ریاضی‌اش در بهترین دانشگاه‌های جهان، فقط سالی یک مقاله نوشته است ولی در ایران "جنبش تولید علم" راه افتاده و مهم‌ترین نشانه‌اش هم انبوه مقالات به‌اصطلاح علمی است!

  يكی از شاهكارهای پژوهشی ميرزاخانی در دورۀ سوم زندگي علمی‌اش (دوران تدريس در دانشگاه)، حل مسالۀ «خط سير توپ بيليارد» بود.

  الكس رايت، يكي از همكاران ميرزاخانی، درباره مساله توپ بيليارد می‌گويد: «اين مساله صد سال پيش ايجاد شد. در آن زمان عده‌ای فيزيكدان دور هم جمع شدند و در نظر داشتند كه رفتار توپ بيليارد در يك مثلث را بررسی كنند. آن‌ها به خاطر ظاهر سادۀ اين مساله، فكر می‌كردند احتمالا در يك هفته بتوانند به اين مساله پاسخ دهند، اما اكنون صد سال گذشته و ما هنوز نتوانسته‌ايم آن را حل كنيم.»

 ميرزاخاني و همكارانش مسألۀ خط سیر توپ بیلیارد را در سال 2013 حل كردند و دانشگاه استنفورد «شاهكار» آن‌ها را «آغازگر دورانی تازه در رياضيات» خواند.

  يكی از پيامدهاي اين موفقيت ميرزاخانی، گام بلندی است كه رياضيدانان می‌توانند در «توسعۀ سيستم‌های ديناميك» بردارند. در توصيف اين كار ميرزاخانی، گفته شده است: «گويی تا قبل از آن می‌خواستيم درخت‌های جنگل را با يك تبر كوچك قطع كنيم اما حالا اره برقی را اختراع كرده‌اند.»

  شهبازي مي‌نويسد: «دستاورد آنان [ميرزاخاني و همكارانش] همين الآن هم كاربردهاي فراوان دارد. يكي از نمونه‌های آن فهم راستای ديد نگهبانان امنيتی در اتاق‌های آينه‌ای و تودرتو است... در جهان علم رسم بر آن است كه ابتدا رياضيات از دنياهاي ناشناخته كشف حجاب كرده و سپس علوم ديگر از جمله فيزيك كاربردهای آن را مي‌يابند.»

  اهميت كار ميرزاخانی، مختصرا، عبارت بود از: 1- ابداع ايده‌هاي جديد و روش‌هاي تازه در حل مسائل رياضی. 2- ربط دادن شاخه‌هاي گوناگون رياضيات به يكديگر.

  وی توانست بين «حوزه‌هايی وحدت ايجاد كند كه تا پيش از وی عميقا متفاوت از يكديگر تلقی می‌شدند.» علت اين توفيق ظاهرا اين بود كه «او بر رفيع‌ترين قلۀ‌ رياضيات نشسته بود و بر تمام حوزه‌هاي رياضيات مسلط بود.»

 به نظر شهبازي، دليل اصلی اهميت پژوهش‌های ميرزاخانی از منظر فلسفۀ رياضی، "قدرت تبيين اين پژوهش‌ها" بود. تبيين در رياضيات يعني وحدت‌بخشی به مجموعه‌ای از حقايق احتمالا جداگانه تحت يك نظريۀ فراگير.

 تبيين به معنای شناسايی علل، البته ربطي به رياضيات ندارد؛ چراكه رياضی عرصۀ علل نيست.

    مثال كلاسيك تبيين وحدت‌بخش، نظريۀ گرانش نيوتن است كه جزر و مد درياها و مكانيك سماوی  را يكپارچه كرده و همزمان جزيياتی از آن‌ها را توضيح می‌دهد.

  شهبازی كار ميرزاخانی را هم از جنس كار نيوتن می‌داند و می‌نويسد: «كارهای مريم ميرزاخانی با ايجاد روش جديد در حل مسائل و پيوند دادن شاخه‌هايي از جمله هندسۀ هذلولوی، آناليز مختلط، سيستم‌هاي ديناميكی و هندسۀ جبری شمارشی، در واقع تبيينی براي اين شاخه‌ها به شمار می‌آيد و اين امر به نوبۀ خود منجر به روشن شدن جزيياتی از اين شاخه‌ها می‌شود.»

  اما در بين همۀ جملات مربوط به جايگاه مريم ميرزاخاني در عالم رياضيات، اين جملاتِ بيانيۀ دانشگاه استنفورد به مناسبت درگذشت وی، از همه شگفت‌انگيزتر است: «دستاوردهای مريم ميرزاخانی می‌تواند براي نظريه ميدان‌های كوانتومی و همچنين در فهم چگونگي پيدايش جهان هستی موثر باشد.»

  شهبازی در تشريح اين مدعا می‌نويسد: «اين امر به نوبۀ خود می‌تواند بر نگرش‌های فلسفی، مخصوصا نگرش‌های هستی‌شناسانه از جهان تاثير بگذارد.»

  و نيز: «در صورتي كه جهان فيزيكی از قواعد هندسۀ هذلولوی تبعيت كند، دستاوردهای مريم ميرزاخانی به تعريف شكل و حجم دقيق جهان كمك می‌كند.»

  احتمالا همين پيامدهای فلسفی و علمی احتمالی مترتب بر رياضيات ميرزاخانی، دليل عضويت وي در مجمع فيلسوفان آمريكا و آكادمی ملی علوم آمريكا بوده است.

بیشتر بخوانید:

تنها 5 زن در 90 سال گذشته برنده جوایز برتر ریاضی شده اند: مریم میرزاخانی و کلر ویسین در صدر

تصویر زرین‌کوب در شهر؛ نوش‌دارو بعد از مرگ سهراب؟/ خاطره تلخ «هویت» که «هوئیت» بود!

امواج و علل دموکراتیزاسیون چیست؟

آیا ما در برابر عشق مجبوریم؟

تماشاخانه

جشن پیروزی راست افراطی و تظاهرات در فرانسه (فیلم و نمودار)

آیا کنسرت علیرضا قربانی در تخت‌جمشید ، به این میراث جهانی آسیب رسانده‌است ؟ (فیلم)

فیلم های دیگر