اگر همراه با ۲۲ نفر دیگر در یک اتاق باشید، به احتمال زیاد، روز تولد دو نفر از افراد، با هم مشترک خواهد بود.
در جریان تورنمنت اخیر جام جهانی زنان در استرالیا، اتفاق عجیب و جالب توجهی رخ داد. اگر کمی دقت می‌کردید، شاید حتی خود شما هم متوجه این مورد خاص می‌شدید.
بسیاری از تیم‌های حاضر در این تورنمنت، بازیکنانی داشتند که متولد یک روز خاص از سال بودند و تولدشان در یک روز بود. اما ماجرا چیست؟
پدیده‌ای به نام "مشکل تولد" یا "پارادوکس تولد" وجود دارد که ریاضیدانان تمایل زیادی دارند تا از آن برای مخدوش کردن انتظارات ما استفاده کنند. سوال این‌گونه مطرح می‌شود:" چند نفر باید در یک گردهمایی حضور داشته باشند تا احتمال اینکه روز تولد حداقل دو نفر مشترک باشد، به بالای ۵۰% برسد؟"
عموما، وقتی افراد برای اولین بار با این سوال روبرو می‌شوند، به سراغ اعداد بزرگی مثل ۱۸۰ (نفر) می‌روند که تقریبا معادل نصف تعداد روزهای سال است.
شاید دلیل انتخاب چنین عدد بزرگی این است که ما خودمان را در این گردهم‌آیی متصور می‌شویم و در مورد احتمال اینکه روز تولد یک فرد دیگر، با ما یکی باشد، فکر می‌کنیم. اما باید بدانید که عدد ۱۸۰ برای پاسخ به این سوال، عدد بیش از حد بزرگی است.
با این فرض منطقی که روز تولد افراد تقریبا به طور مساوی در طول سال توزیع شده‌اند، جواب این سوال عدد به مراتب کوچکتری خواهد بود: ۲۳ نفر!
این به این دلیل است که ما نگران یک روز خاص نیستیم که در آن روز جشن تولدی واقع بشود، بلکه بحث همزمانی تولد دو نفر در یک روز مشخص است. در صورتی که ۳۹ نفر را در یک اتاق داشته باشیم، این احتمال به حدود ۹۰% افزایش خواهد یافت (همانطور که در نمودار زیر می‌بینید.)
برای آنکه بدانید که چطور به تعداد تا این حد کم از افراد نیاز است، کار را با درنظر گرفتن تعداد جفت افرادی که در اتاق حاضرند شروع می‌کنیم (یعنی دو نفر یا یک جفت از افراد که تولدشان در یک روز است). با حضور ۲۳ نفر در یک اتاق، ۲۵۳ حالت مختلف برای ترکیب آنها به شکل یک جفت وجود خواهد داشت (نمودار زیر).
محاسبه دقیق احتمال یک تطابق کمی پیچیده است ولی شاید (وقتی درک کردید که چطور ۲۳ نفر را می‌توان در ۲۵۳ حالت مختلف یک جفت کرد) ، برایتان تعجب‌آور نخواهد بود که احتمال داشتن حداقل یک جفت با یک روز تولد یکسان، به بالای ۵۰% برسد. اگر تعداد افراد حاضر در اتاق بیش از ۵۰ نفر باشد، احتمال آنکه تولد دو نفر در یک روز مشخص باشد، به بالای ۹۷% خواهد رسید.
تا اینجا بحث تئوری مطرح بود؛ اما آیا در عمل نیز همین‌گونه است؟ در جام جهانی زنان که اخیرا برگزار شد، ۳۲ تیم حضور داشتند که هر تیم دقیقا ۲۳ بازیکن داشت. این یعنی یک بستر آزمایشی عالی برای این تئوری!
با بررسی داده‌ها، مشخص شد که ۱۷ تیم (یعنی بیش از نیمی) از ۳۲ تیم شرکت کننده در این تورنمنت، دست کم دو بازیکن داشتند که تولدشان در یک روز بود. این یک حالت ایده‌آل و کامل نیست ولی به عدد شانزده که در صورت تکرار آزمایش، به‌طور میانگین به آن می‌رسیم، بسیار نزدیک است.
نکته جالب توجه اینجاست که از بین تمام این زوج‌ها که تولدشان در یک روز مشترک است، تنها دو بازیکن تیم ملی پاناما یعنی کارمن مونته نگرو و لینث سدنیو علاوه بر اینکه تولدشان در یک روز است، بلکه هر دو متولد یک سال نیز هستند ( ۵ دسامبر سال ۲۰۰۰). سه تیم یعنی برزیل، کلمبیا و دانمارک، دو زوج با تولدهای مشترک داشتند و در دو تیم مراکش و نیجریه، سه زوج با روز تولد مشابه وجود داشت.
گلوری اوگبونا و کریستی اوچیه به، زوج تیم ملی نیجریه با روز تولد مشترک (در روز کریسمس)، در دومین روز تولد رایج در تمام تیم‌ها مشارکت داشتند و در مجموع، ۷ بازیکن حاضر در جام جهانی ۲۰۲۳، متولد روز کریسمس بودند.
در یکی از دو بازی نیمه‌نهایی این تورنمنت، دو بازیکن با روز تولد مشابه مقابل یکدیگر قرار گرفتند. الکس چیدیاک (بازیکن استرالیا) و کلوئی کلی (بازیکن تیم ملی زنان انگلیس)، هر دو متولد ۱۵ ژانویه بودند و کلی دقیقا یک سال از بازیکن تیم حریف بزرگتر بود. جردن نابز، بازیکن تیم زنان انگلیس و استر گونزالز، مهاجم تیم ملی اسپانیا، هر دو متولد یک روز و یک سال بودند (۸ دسامبر ۱۹۹۲)، اما در جریان فینال جام جهانی زنان، هیچ یک از این دو در ترکیب تیم‌هایشان قرار نگرفتند.
در مجموع ۲۴ زوج با روز تولد مشابه در تیم‌هایشان شناسایی شدند که به شکلی تصادفی بیشتر از عدد جادویی ۲۳ بود.
پس "استدلال مشکل تولد" نشان می‌دهد که به احتمال زیاد، برخی روزها، روز تولد چندین جفت متفاوت بوده است. مثلا روز سوم مارس، روز تولد دو بازیکن تیم ملی زنان دانمارک، یعنی سیمونه بویه سورنسن و لونا گویتز و همچنین دو بازیکن تیم ملی کلمبیا یعنی ساندرا سپولودا و دیانا اوسپینا گارسیا است و جالب اینجاست که روز سوم مارس، رایج‌ترین روز تولد در تمام تیم‌هاست و در مجموع ۹ بازیکن زن حاضر در جام جهانی ۲۰۲۳، متولد این روز بودند.
جدای از بحث فوتبال و جام‌جهانی، همین استدلال "مشکل تولد" به ما کمک می‌کند تا پارادوکس‌های ظاهری در زمینه‌های مختلف را توضیح دهیم. در سال ۲۰۰۱، در هنگام جستجو در پایگاه داده DNA در ایالت آریزونا و در ۶۵۴۹۳ نمونه، دانشمندان تطابقی جزئی بین دو DNA نامرتبط را کشف کردند. این اتفاق در شرایطی رخ داد که این دو DNA متعلق به دو فرد کاملا غریبه و ناآشنا بود و چنین تطابقی در هر ۳۱ میلیون جفت نمونه‌برداری شده، یک بار مشاهده می‌شود. این یک یافته شوکه‌کننده بود که محققان در مورد آن کنفرانسی علمی برگزار کردند و قرار شد تا جستجوها برای یافتن مطابقت‌های احتمالی بیشتر ادامه یابد. با مقایسه تمام پروفایل‌های DNA در این پایگاه داده، ۱۲۲ جفت از افراد با درجه شباهت مشابه DNA و یا حتی بیشتر از آن، مشاهده و شناسایی شدند.
بر پایه این مطالعه و با تردیدهایی که درباره منحصر به فرد بودن شناسه‌های DNA ایجاد شده، وکلای سراسر آمریکا، خواهان آن هستند تا مقایسه‌های مشابهی در دیگر پایگاه‌های داده DNA از جمله در پایگاه داده ملی DNA که حاوی ۱۱ میلیون نمونه است، انجام شود. در صورتی که ۱۲۲ نمونه نسبتا مشابه DNA در یک پایگاه داده کوچک با ۶۵ هزار نمونه مشاهده شده، آیا واقعا می‌توان به تست DNA برای شناسایی منحصر به فرد مظنونان در کشور آمریکا با ۳۰۰ میلیون نفر جمعیت اعتماد کرد؟ آیا احتمالات مرتبط با پروفایل‌هایDNA صحیح است و آیا می‌توان از صحت محکومیت محکومانی که با توجه به تست‌های DNA در آمریکا متهم شده‌اند مطمئن بود؟ برخی از وکلا این‌طور فکر می‌کنند و حتی با اتکا به یافته‌های آزمایش آریزونا، درمورد قابل اعتماد بودن مدارک DNA در محاکمه متهمان‌شان دچار تردید شده‌اند.
واقعیت این است که مقایسه هر یک از ۶۵۴۹۳ نمونه در پایگاه داده آریزونا با هر یک از نمونه‌های دیگر این پایگاه داده، در مجموع بیش از دو میلیارد جفت منحصر به فرد را در اختیار ما قرار خواهد داد. با در نظر داشتن این احتمال که هر یک جفت از هر ۳۱ میلیون جفت DNA نامرتبط، با هم تطابق داشته باشند، باید در انتظار یافتن ۶۸ جفت DNA مشابه می‌بودیم.
البته به جای آنکه این یافته‌ها اعتماد ما به شواهد DNA را متزلزل کند، باید به این نکته توجه کرد که یافته‌های پایگاه‌های داده در مورد DNA نیز کاملا با مورد "استدلال تولد" مطابقت دارد.
باید این نکته را مدنظر داشت که در شرایطی مشابه، وقتی احتمال کافی برای وقوع یک رویداد وجود دارد، حتی اگر احتمال وقوع هریک از آنها کم به نظر برسد، این رویدادها درکنار هم می‌توانند حتی رویدادهای به ظاهر غیرمتحمل را نیز محتمل کنند.
منبع: BBC /خبرآنلاین